那些你没有听过的数 — 相亲相爱的亲和数

之前我们已经介绍过了 Euclid 的挚爱 完美数 和它的各类好基友，下面我们来说说 Pythagoras 的最爱亲和数以及它的后宫佳丽。

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亲和数

亲和数是指一对彼此除自身外的全部约数 (真因子) 之和与令一方相等的自然数。Pythagoras 发现了第一对亲和数 220 和 284 并因此定义了这种奇妙的数，据说当年  Pythagoras 希望他的弟子们像亲和数那样相亲相爱。

220 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
284 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

正是因为亲和数被如此定义，我们也可以说亲和数是一对彼此全部约数之和相等的数。因为 220 的所有约数之和是 284 + 220，而 284 的所有约数之和 是 220 + 284。

自古希腊后欧洲的文化就因为宗教的打压而没落了，阿拉伯人则因为亚历山大大帝和亚历山大图书馆而得以保留古希腊哲人的大部分著作。虽然亚历山大图书馆被一把大火付之一炬，但是不妨碍好学的阿拉伯人把 Pythagoras 的学说研究透彻并流传给后人。公元 10 世纪，阿拉伯数学家 Thâbit ibn Qurra 成为了系统研究亲和数的第二人，他发展了一套寻找亲和数的法则，被称为 Thâbit 法则。

若 n 是大于 1 的整数，p, q, r 是素数且满足
p = 3 × 2^{n − 1} − 1
q = 3 × 2ⁿ – 1
r = 9 × 2^{2n − 1} − 1
那么 2ⁿpq 与 2ⁿr 是一对亲和数。

当 n = 2 时，p = 3 × 2 – 1 = 5, q = 3 × 4 – 1 = 11, r = 9 × 8 – 1 = 71，所以 2ⁿpq ＝ 4 × 5 × 11 ＝ 220, 2ⁿr = 4 × 71 = 284。已经证实的有当 n = 4 时有 (17296, 18416) 是一对好基友，当 n = 7 时有 (9363584, 9437056) 也是一对好基友。但是其他的亲和数还没有找到对应的 n 值。

随后的好几百年里，人们一直对这个颇麻烦的法则不太感兴趣。直到 1636 年，搞法律的数学迷 Fermat 发现了另一对亲和数 17296 和 18416。两年后的 1638 年，身体羸弱的病美男的 Descartes 也发现了一对亲和数 9363584 和 9437056。看到同僚们的成就，特别会生孩子但更会写证明的 Euler 不甘寂寞了，经过孜孜不倦的研究，1750 年他一下子更新了 60 对亲和数。是的，你没有看错，不是 6，而是 60。欧洲数学界一下子轰动了。Euler 将 Thâbit ibn Qurra 法则广义化从而形成 Euler 法则：

若 n > m > 0 是整，p, q, r 是素数，且满足
p = 2^m(2^{n – m} + 1) − 1,
q= 2ⁿ(2^{n – m}  + 1) − 1,
r = 2(2^{n – m} + 1)² − 1
那么 2ⁿpq 和 2ⁿr 是一对亲和数。

Thābit 法则是 Euler 法则 当 m = n – 1 时候的特例。已经整数当 m = 1, n = 8 以及当 m = 29, n = 40 的时候能得出两对亲和数。

在已知的亲和数对中，要么是两两为奇要么是两两为偶，还没有找到一奇一偶的情况。若存在一奇一偶，则那个偶数必然是一个正方形数或是一个正方形数的两倍，那个奇数必然是一个正方形数。已知的一对亲和数必然有一个大于 1 公约数。1955 年，匈牙利数学家 Paul Erdős 证明了亲和数在自然数中的稠密度为 0。

大约是自古以来的数学宅男们都或多或少地为找个女友或是找个基友的终身大事发愁过，亲和数又称相亲数。不知道 2 月 20 日与 4 月 28 日出生的人们是否比别人更加兄友弟恭 (攻) 琴瑟和鸣，有的话请吱一声。

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婚约数

连一对相亲数都有了，自然一对结婚的数也就不远了。婚约是指一对彼此除了 1 与自身外的全部约数之和与令一方相等的自然数。从定义看，婚约数与亲和数就差了那么一点点，所以它们又被称为准亲和数。最小的一对婚约数是 48 和 75。

48 除 1 以外的真因子之和为 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 75
75 除 1 以外的真因子之和为 3 + 5 + 15 + 25 = 48

已知最小的十对婚约数是 (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), (5775, 6128), (8892, 16587), (9504, 20735), (62744, 75495), (186615, 206504)。目前已知的婚约数都是一奇一偶的异性恋，至于以后会不会有奇奇或偶偶的同性恋，我们现在还不得而知。

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相亲数链

如果一个数没有男朋友女朋友好基友，它还是可以相亲觅基友的嘛。如果一个由自然数组成的数列中，第一项的数除本身之外全部约数的和等于第二项的数，第二项的数除本身之外全部约数的和等于第三项的数，第三项的数除本身之外全部约数的和等于第四项的数，以此类推，最后一项的数除本身之外全部约数的和等于第一项的数，由此形成一个循环，这个链状循环被称为相亲数链，这个数链里的数被称为交际数。交际数是广义的完美数和亲和数，是更加基情澎湃更加重口味的数。

相亲数链的周期即是这个数列里数的个数，也是所对应交际数集合的序数。完美数的对应相亲数链的周期是 1，亲和数的对应相亲数链的周期是 2。目前还没有已知对应周期是 3 的交际数。

周期为 1：
6 的真因子之和为 1 + 2 + 3 = 6

周期为 2：
220 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
284 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

周围为 3：
N/A

周期为 4：
1264460 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860
1547860 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636
1727636 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184
1305184 的真因子之和为 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460

其实吧，我觉得交际数这个名字翻得并不好，不得其精髓所在，应该翻译成 交合数 才能真正体现出这种数的精神。然后，我们还可以给它取个小名，叫做 雏菊环。